У Конов также имеются три ветви с разными иероглифическими начертаниями.   

У первой ветви основным поном является "Кокпу". Эта фамилия редкая среди корейцев СНГ. Основателем этого рода считается человек по имени Конъчжа. Известно, что его потомок в 53 поколении Со в 1351 году работал королевским историком у короля Чхунъчжонъа на 3 год его правления. Породнившись с королем государства Корё Конмином, Со переехал жить в Корею и стал основателем рода "Чханвон". Этот род в эпоху "Чосон" дал 8 человек, сдавших "кваго". В 1985 году, согласно переписи, 17 207 семей Конов составляли 0,2% населения Кореи, а фамилия заняла 56 место среди 274.  

У второй ветви Конов известны 8 понов, но хорошо известно лишь о двух из них: "Кимпхо" и "Мунчхон", -- об остальных подробных сведений нет. Считается, что они являются потомками короля Ванчжога (Uq). В 755 году (на 14 год правления короля Силла Кентога Кон Юнпо с 18 учениками эмигрировал в Корею во время Анноксанского кризиса и обосновался в уезде Кимпхо. Основателем рода "Кимпхо" считается Мённе -- потомок Кон Юнпо, живший в период правления короля Сечжона, прекрасный знаток ханмуна. Род "Мунчхон" ведет начало от той части потомков Кон Юнпо, которую король Сечжон выслал в ссылку в г. Мунчхон провинции Южный Хамгендо, где они и обосновались. Основателем рода "Мунчхон" считается Кон Поон. Из этого рода наиболее известен поэт Кю, творивший в период правления короля Чжунъчжона. Он учил конфуцианству в академии Сонгюнкван, где учили трудам Конфуция и его учеников. В 1985 году было 420 семей, а их фамилия заняла 146 место среди 274.   

О третьей, небольшой ветви, известны лишь то, что местами происхождения фамилии являются "Сувон", "Инчхон", "Ичхон", "Кимпхо", "Хэнъчжу", "Чжончжу", "Чханъвон", "Индонъ", "Чханънёнъ", "Пэчхон", "Чханъсонъ", всего свыше одиннадцать родов. Количество родов, оставшихся в настоящее время в этой ветви, - неизвестно.