У Могаев существует две ветви с разными иероглифическими начертаниями.   

У первой ветви Могаев основным поном является "Хампхенъ". Считается, что "Чжинчжу" отделился от него. Основателем рода Могаев этой ветви считается Мо Гёнъ, живший в Китае во времена правления династии Сонъ. В 1126 году он приехал в государство Корё, в 4 год правления короля Инчжонъ, в качестве посланника императора в период Ичжакемского кризиса, и впоследствии обосновался там. Его потомок в 6 поколении Мо Хо оставил военную службу и работал пхёнъчжанъса. В эпоху "Чосон" род Могаев этой ветви дал 5 чиновников, сдавших экзамены "кваго". Имя Сун выбито на главных воротах Пхеньяна за особые заслуги. Братья Мо Сему и Мо Себон работали гражданскими чиновниками по внешним делам. Кроме того, известно также имя выдающегося каллиграфа Мо Сумёнъа. Его манера писать получила название "каллиграфия Мо". Согласно переписи 1985 года Могаев этой ветви было 3 757 семей, а их фамилия заняла 93 место из 274 .   

У второй ветви Могаев основным поном является "Кванъчжу". Считается, что остальные рода: "Конъсан", "Сосан" и "Кимхэ" отделились впоследствии от него. Имя единого основателя рода, к сожалению, не сохранилось. Могаи из рода "Кванъчжу" из поколения в поколение жили в провинции Чжончжу. Из рода Могаев, согласно знаменитым книгам "Самгук саги" и "Самгук юса" и др. древним источникам, известны имена полководца государства Пэкче -- Мо Чока, королевского поэта Когуре - Мо Чи. В королевской свите отличался активностью человек по имени Мо Хын.  

Однако есть версия, что Могаи пришли из Китая, т.к. фамилия Мо считается китайской, и что в Корее она появилась в результате переселения и натурализации. А согласно родовой книге "Чосонссижоктхонбо", Могаи являются потомками короля Мунвана. Согласно переписи 1985 года, Могаев этой ветви было 192 семей, а их фамилия заняла 164 место из 274.